我們每天使用的電腦，就是源自於數學。中研院數學所的李國偉兼任研究員，聊聊圖靈機的故事，解開生活中的數學密碼。

圖靈的「模仿遊戲」

人工智慧圍棋程式 AlphaGo，壓倒性擊敗棋王而轟動全世界，令人不禁疑問：機器可以思考嗎？機器可以超越人類心靈嗎？而著名的「圖靈測試」 (Turing Test)，就是對此問題的一種判定。

李國偉說，圖靈測試就是「模仿遊戲」。 1950 年圖靈 (Alan Turing) 發表了 Computing machinery and intelligence 這篇文章，討論「電腦會不會思考」，成為人工智慧的重要思想來源。由於「思考」本身很難定義，圖靈訴諸可供判定的方法：一台電腦和一個人交談，如果交談的人始終分不清楚誰是電腦、誰是人，那這台電腦在行為上已經接近人的思考能力。

AlphaGo 擊敗棋王，可以說是通過圖靈測試了嗎？李國偉解釋，雖然電腦很多能力的確比人強，不僅下圍棋，計算數學的能力也早就超越人類，但是圖靈測試是「漫無目標」的智能測驗，包括各種「常識」。電腦在很多專業知識上都超越人腦，但是最弱的就是常識。至今，還沒有一台機器真正通過圖靈測試。

不過，如何訓練機器擁有常識，是有方向可循。如同 AlphaGo，訓練機器的方法，就是從一個「嬰兒機器」開始，讓它不斷學習、演化。下棋的好方法保留下來，壞方法淘汰掉，機器就不斷增強。

事實上，機器學習的方法，早在圖靈 1950 年的文章中就已經提出。當時沒有相應的硬體條件可以實際做出，直到現在，GPU, TPU 等硬體效能趕上軟體運算的需求，開始表現出早期人們預期人工智慧能達到的事情。

在圖靈的時代，有許多先進的工程師，甚至不相信電腦有可能幫人算帳。

圖靈為何有先見之明？憑藉的就是他發展出的一套理論數學計算機模型──圖靈機 (Turing Machine)。圖靈機的故事說來話長，李國偉從 19 世紀的數學發展聊起。

從數學難題到資訊科學的開端

19 世紀末的數學家，發現一些數學的基礎出了問題，例如「無窮」的概念定義不清。他們想從最簡單的概念出發，就像歐幾里得建立公理、公設一樣，重新建立起一套數學的體系。他們想到，在自然數之前，更基礎的是 and、or、not 之類的邏輯概念。

試圖找出算術的基礎，數學家弗雷格 (Gottlob Frege) 嘔心瀝血寫成大作，嚴謹定義什麼叫做「集合」。沒想到，當時才二十幾歲的羅素 (Bertrand Russell) 找到致命的矛盾：當我考慮把所有「自己不屬於自己」的集合，放在一個集合 A 裡，那麼那個集合 A 屬於不屬於自己？這就導出了著名的「羅素悖論」。

世界頂尖的數學家都跳進來解決集合論基礎問題。若要解決，必須把「自己不屬於自己」這種奇怪的東西，排除到數學王國之外。問題來了，數學王國的圍牆怎麼蓋？大數學家希爾伯特 (David Hilbert) 選擇了一條安全的途徑：假裝我們每天講的數學，都是以符號寫成。他從「形式系統」出發，完全玩符號遊戲。

但是，問題又來了。怎麼證明一個形式系統是一致的，沒有矛盾？李國偉說，如果用機械化的方法，一步一步寫出來所有系統裡的定理，即使矛盾一直沒有出現，這種方式還是無法說服人！希爾伯特試著尋找真正有效的證明。

沒想到，在 1931 年，年輕數學家哥德爾（Kurt Gödel) 證明了相反的結果：如果你的系統複雜到可以講一點點的自然數理論，那就沒有辦法在你的系統裡面，保證不出矛盾。希爾伯特的夢想是達不到的！

圖靈機：理論數學的計算機模型

李國偉解釋，所謂的圖靈機，其實不是一個真正的「機器」，而是「理論數學」的模型。

圖靈為了敘述的容易，把理論描述成一張紙帶，上面畫了很多格子，還有一個讀寫頭。讀寫頭儲存了有限個不同狀態，若決定了現在的狀態，再看底下格子的符號，就決定了下一步會變成什麼狀態。

圖靈澄清了「什麼是數學的機械化」這件事情。一般從小到大學過的函數，只要在整數值上，圖靈機都可以計算。李國偉說明，因為這個表格是有限的，所以可用自然數來編碼。自然數可以因數分解，一個非常大的數字，一層一層因數分解下來，等於肚子裡頭一層一層包含訊息。就像數字變成了一個機器！

延伸這個思維，圖靈還提出一種「通用圖靈機 (Universal Turing Machine) 」，可以把各種機器的程式都吃進來，模擬另一個機器計算的結果。這就是我們現在使用的電腦，同一套軟體不論移到哪台電腦都能計算。

電腦時代的數學家

圖靈一方面說電腦可以很強大，另一方面又指出機器的侷限。他證明，有個「停機問題」是任何計算機都無法判定，也就是「是否存在一個程式 P ，對於任意輸入的程式 w ，能夠判斷 w 會在有限時間內結束、或者無窮迴圈。」以數學的角度來說，並沒有一般的機械方式，可以處理這種判定。

話又說回來，電腦還是有強大的功能，協助數學研究。 1976 年，電腦輔助證明了經典難題「四色定理」；至今，電腦甚至已經能夠自動證明數學定理，只差在還無法主動發明有深度而令數學家感興趣的定理，讓數學家還能保住飯碗。電腦也促成了很多新的數學研究主題，李國偉的研究領域「組合數學」，隨著計算機的發展更加興盛。

組合數學研究的對象是離散的、有限數目的問題。李國偉說，他的師長輩的老派數學家，由於沒有受過計算機的洗禮，認為他們研究組合數學，就好像研究高中的排列組合一樣，沒什麼意思。他們沒想到，當「有限」的數目夠大，可能比探討「無限」的問題更困難。

李國偉說明，組合數學的問題，在網際網路的時代更有趣。人們使用網際網路，假如全世界有幾十億個節點，我跟你通訊就代表兩個點連上一個邊，邊的數目就是更龐大的數字，狀況非常複雜。使用算術處理龐大的離散數據，這類問題成為計算機科學裡面「演算法」的學問。

在有限的範圍內一定存在答案，但是實際求解的時候，希望找到最有效率、最節省資源的解，這就是數學的組合優化。

若下回有小朋友問你「學數學有什麼用」，別忘了指著電腦或手機 App 說：「這裡面，就是數學。」

~延伸閱讀~

數學真的討人厭嗎？和李國偉聊聊生活中的數學

李國偉的個人網頁

數學科普網站Unimath

「機器算得出心靈與意識嗎？——歌德爾 vs 涂林」演講影片，講者：李國偉

文章轉載自研之有物：《圖靈機到人工智慧，誰讓電腦強大？是數學！》

首圖/PHOTOAC

數學李國偉圖靈人工智慧機器學習